Pendahuluan

Trigonometri adalah cabang ilmu geometri yang membahas tentang segitiga. Trigonometri memberikan hubungan analitis antara sisi dan sudut suatu segitiga, serta menghubungkan geometri dengan aljabar. Kenapa harus repot-repot belajar trigonometri?

Kita mulai dengan meninjau beberapa persoalan. Misalkan kita punya suatu segitiga yang panjang seluruh sisinya sudah diketahui. Kira-kira apakah informasi tersebut cukup untuk menentukan bagian-bagian segitiga lainnya, yakni sudutnya? Misalnya:

"Panjang sisi-sisi suatu segitiga adalah 3, 4, dan 5 sentimeter. Berapa besar sudut-sudutnya?"

Dengan pengetahuan matematika yang kita punya di SMP, apakah ada rumus atau fakta geometris yang bisa kita pakai di sini? Sayangnya tidak. Hal terbaik yang bisa kita lakukan hanyalah mencoba menggambar segitiga tersebut lalu mengukur besar sudutnya dengan busur. Dari sini bisa kita sadari bahwa masih ada ``lubang'' dalam ilmu geometri yang belum kita isi. Bahkan pertanyaan sesepele ini belum bisa kita jawab dengan kepastian. Oleh karena itu, trigonometri hadir untuk memberikan solusi.

Enam Fungsi Trigonometri

Segitiga siku-siku dengan sudut \(\theta\).
Dengan segitiga siku-siku di atas, kita bisa definisikan 6 fungsi Catat bahwa makna kata ``fungsi'' di sini bukanlah ``kegunaan'. ``Fungsi'' di sini sama saja seperti ``fungsi'' \(f(x)\) di aljabar. trigonometri pada sudut \(\theta\) (dibaca ``theta'') sebagai berikut Yang dimaksud dengan "depan" adalah sisi yang berada di depan sudut \(\theta\), sementara ``samping'' adalah sisi yang berada di samping sudut, dengan salah satu ujung sisi tersebut adalah titik sudut \(\theta\). Adapun "miring" maksudnya sisi miring atau hipotenusa dari segitiga siku-siku. : \[ \begin{aligned} \sin (\theta) & = \dfrac{\text{depan}}{\text{miring}} = \dfrac{a}{c} &&\csc (\theta) = \dfrac{\text{miring}}{\text{depan}} = \dfrac{c}{a} \\[1em] \cos (\theta) & = \dfrac{\text{samping}}{\text{miring}} = \dfrac{b}{c} &&\sec (\theta) = \dfrac{\text{miring}}{\text{samping}} = \dfrac{c}{b} \\[1em] \tan (\theta) & = \dfrac{\text{depan}}{\text{samping}} = \dfrac{a}{b} &&\cot (\theta) = \dfrac{\text{samping}}{depan} = \dfrac{b}{a} \end{aligned} \] Keenam fungsi di atas, yakni sinus, kosinus, tangen, kosekan, sekan, dan kotangen Dalam bahasa Inggris: sine, cosine, tangent, cosecant, secant, and cotangent. adalah aktor utama dalam trigonometri.

Hubungan Antarfungsi Trigonometri

Untuk setiap sudut \(\theta\), \[\tan \theta = \dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}.\]

\[ \dfrac{\sin \theta}{\cos \theta} = \dfrac{ \ \ \ \dfrac{a}{c} \ \ \ }{\dfrac{b}{c}} = \frac{a}{c} \div \frac{b}{c} = \frac{a}{c} \times \frac{c}{b} = \frac{a}{b} = \tan \theta. \]

Untuk setiap sudut \(\theta\), \[ \csc \theta = \dfrac{1}{\sin \theta} \]

\[ \dfrac{1}{\sin \theta} = \dfrac{1}{\dfrac{a}{c}} = \dfrac{c}{a} = \csc \theta. \]

Untuk setiap sudut \(\theta\), \[ \sec \theta = \dfrac{1}{\cos \theta} \]

\[ \dfrac{1}{\cos \theta} = \dfrac{1}{\dfrac{b}{c}} = \dfrac{c}{b} = \sec \theta. \]

Untuk setiap sudut \(\theta\), \[ \cot \theta = \dfrac{1}{\tan \theta} \]

\[ \dfrac{1}{\tan \theta} = \dfrac{1}{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{b}{a} = \cot \theta. \]

Untuk setiap sudut \(\theta\), \[ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1. \] Identitas ini disebut sebagai identitas Pythagoras trigonometri.

Berdasarkan teorema Pythagoras, dari segitiga siku-siku pada Gambar 1, kita tahu bahwa \(a^2 + b^2 = c^2\). Dengan demikian,

\[ \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = \left( \dfrac{a}{c} \right)^2 + \left( \dfrac{b}{c} \right)^2 = \dfrac{a^2}{c^2} + \dfrac{b^2}{c^2} = \dfrac{a^2 + b^2}{c^2} = \dfrac{c^2}{c^2} = 1. \]

Untuk setiap sudut \(\theta\), \[ \tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta. \]

Kita bisa manfaatkan proposisi sebelumnya. Dari identitas Pythagoras, kita tahu bahwa \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\). Dengan membagi kedua sisi dengan \(\cos^2 \theta\), maka akan kita dapatkan

\[ \begin{aligned} \dfrac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} + \dfrac{\cos^2 \theta}{\cos^2 \theta} & = \dfrac{1}{\cos^2 \theta} \\[1em] \tan^2 \theta + 1 & = \sec^2 \theta. \end{aligned} \]

Untuk setiap sudut \(\theta\), \[ \cot^2 \theta + 1 = \csc^2 \theta. \]

Lagi-lagi, kita berangkat dari identitas \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\). Dengan membagi kedua sisi dengan \(\sin^2 \theta\), kita akan mendapatkan \[ \begin{aligned} \dfrac{\cos^2 \theta}{\sin^2 \theta} + \dfrac{\sin^2 \theta}{\sin^2 \theta} & = \dfrac{1}{\sin^2 \theta} \\[1em] \cot^2 \theta + 1 & = \csc^2 \theta. \end{aligned} \]

Untuk setiap sudut \(\theta\), \[ \sin (90^\circ - \theta) = \cos \theta \qquad \text{dan} \qquad \cos (90^\circ - \theta) = \sin \theta. \]

Perhatikan sudut \( \varphi \) (dibaca ``phi'') pada segitiga siku-siku dalam Gambar 1. Mengingat siku-siku mempunyai sudut \(90^\circ\) dan jumlah seluruh sudut dalam segitiga adalah \(180^\circ\), nampak bahwa sudut \( \varphi \) adalah \( 90^\circ - \theta \) karena

\[ \varphi + \theta + 90^\circ = 180^\circ \iff \varphi = 90^\circ - \theta. \] Dengan demikian, kita dapatkan \[ \sin (90^\circ - \theta) = \sin \varphi = \dfrac{a}{c} = \cos \theta \] dan \[ \cos (90^\circ - \theta) = \cos \varphi = \dfrac{b}{c} = \sin \theta. \]

Sudut Istimewa

Ada beberapa sudut yang disebut "istimewa" karena nilai-nilai fungsi trigonometri untuk sudut tersebut diketahui secara pasti dan tidak perlu dihitung menggunakan kalkulator atau deret ekspansi Taylor. Kira-kira ini apa, ya? Deret ekspansi Taylor adalah suatu cara untuk mengaproksimasi nilai fungsi matematika dengan menggunakan polinomial. Silakan coba browsing tentang topik ini. Sudut-sudut tersebut adalah \(0^\circ\), \(30^\circ\), \(45^\circ\), \(60^\circ\), dan \(90^\circ\).

Untuk awalan, kita akan mencari nilai-nilai fungsi trigonometri untuk sudut-sudut berikut: \(0^\circ\), \(30^\circ\), \(45^\circ\), \(60^\circ\), dan \(90^\circ\).

Sudut \( \boldsymbol{30^\circ} \) dan \( \boldsymbol{60^\circ} \)

Kita awali dengan sebuah pertanyaan sederhana:

di mana saja kita bisa menjumpai sudut \(60^\circ\) dan \(30^\circ\)?

Tentunya kita bisa temukan mereka di segitiga sama sisi! Dalam segitiga sama sisi, semua sudutnya sama besar, yaitu \(60^\circ\). Lebih lanjut lagi, kita bisa membagi segitiga tersebut menjadi dua segitiga siku-siku dengan sudut \(30^\circ\) dan \(60^\circ\). Supaya lebih jelas, mari kita cermati segitiga sama sisi dengan panjang sisi \(a\) pada gambar berikut.


Segitiga sama sisi dan sepasang segitiga siku-siku yang terkandung di dalamnya.

Anda bisa menemukan tinggi segitiga \(y= \dfrac{\sqrt{3}}{2} a\) dengan menerapkan teorema Pythagoras. Sekarang, mari berfokus pada segitiga siku-siku pada bagian paling kanan Gambar 2. Dengan menerapkan definisi fungsi-fungsi trigonometri yang tadi sudah kita bahas pada segitiga ini, kita dapatkan


\(\sin 30^\circ = \dfrac{\ \ \dfrac{a}{2} \ \ }{a} = \dfrac{1}{2}\)
\(\cos 30^\circ = \dfrac{\ \ \dfrac{\sqrt{3}}{2} a \ \ }{a} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\tan 30^\circ = \dfrac{\ \ \dfrac{a}{2} \ \ }{\ \ \dfrac{\sqrt{3}}{2}a \ \ } = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
\(\sin 60^\circ = \dfrac{\ \ \dfrac{\sqrt{3}}{2} a \ \ }{a} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\cos 60^\circ = \dfrac{\ \ \dfrac{a}{2} \ \ }{a} = \dfrac{1}{2}\)
\(\tan 60^\circ = \dfrac{\ \ \dfrac{\sqrt{3}}{2}a \ \ }{\dfrac{a}{2}} = \sqrt{3}\)

Sudut \(\boldsymbol{45^\circ}\)

Lagi, kita tanyakan suatu pertanyaan sederhana:

``di mana saja kita bisa menemukan sudut \(45^\circ\)?''

Kita mungkin teringat dengan fakta bahwa sebuah persegi tersusun atas 4 sisi yang sama panjang dan 4 sudut yang sama besar, yakni \( 90^\circ \). Dari sini, kita bisa membelah sudut \(90^\circ\) menjadi dua sudut yang sama besar, yakni \(45^\circ\). Dengan demikian, kita bisa menemukan sudut \(45^\circ\) pada sudut-sudut diagonal persegi. Mislkan suatu persegi dengan panjang sisi \(a\) seperti pada Gambar 3.


Persegi dengan panjang sisi \(a\) yang dibelah menjadi dua segitiga siku-siku yang saling kongruen.

Sisi miring segitiga siku-siku adalah \(\sqrt{2} a\) berdasarkan teorema Pythagoras. Sekarang, berdasarkan segitiga tersebut, nilai dari sinus, kosinus, dan tangen sudut \(45^\circ\) adalah

\(\sin 45^\circ = \dfrac{a}{a\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\cos 45^\circ = \dfrac{a}{a\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\tan 45^\circ = \dfrac{a}{a} = 1\)

Sudut \(\boldsymbol{0^\circ}\) dan \(\boldsymbol{90^\circ}\)

Coba kita kesampingkan sudut \( 90%\circ\) pada segitiga siku-siku. Kalau ditanya di mana lagi kita bisa temukan sudut \(0^\circ\) dan \(90^\circ\), tentunya tidak ada segitiga yang punya kedua sudut itu. Sudut \(0^\circ\) hanya ada pada garis lurus. Akan tetapi, kita bisa gunakan suatu pendekatan untuk mengetahui nilai-nilai fungsi trigonometri untuk kedua sudut tersebut. Cermati gambar berikut.


Sederet segitiga siku-siku dengan sudut \(\theta\) yang makin lama makin kecil.

Perhatikan bahwa semakin \(\theta\) mengecil (mendekati 0), panjang sisi samping sudut \(\theta\) akan makin mendekati panjang sisi miringnya, dan sisi di depan sudut \(\theta\) makin mendekati 0. Dengan kata lain,

\( \text{samping} \approx \text{miring} \quad \text{dan} \quad \text{depan} \approx 0 \)

Akibatnya, ketika \(\theta \) persis bernilai \(0^\circ\), kita dapatkan

\(\sin 0^\circ = \dfrac{\text{depan}}{\text{miring}} = \dfrac{0}{\text{miring}} = 0\)
\(\cos 0^\circ = \dfrac{\text{samping}}{\text{miring}} = \dfrac{\text{miring}}{\text{miring}} = 1\)
\(\tan 0^\circ = \dfrac{\sin 0^\circ}{\cos 0^\circ} = \dfrac{0}{1} = 0\)

Pendekatan sebaliknya bisa diterapkan untuk menentukan nilai-nilai fungsi trigonometri untuk sudut \(90^\circ\).


Sederet segitiga siku-siku dengan sudut \(\theta\) yang makin lama makin besar.

Semakin sudut \(\theta\) mendekati \(90^\circ\), panjang sisi depan akan makin mendekati panjang sisi miring sedangkan panjang sisi samping mendekati 0. Dengan kata lain,

\(\text{depan} \approx \text{miring} \quad \text{dan} \quad \text{samping} \approx 0\)

Akibatnya, ketika \(\theta\) persis \(90^\circ\), didapatkan

\(\sin 90^\circ = \dfrac{\text{depan}}{\text{miring}} = \dfrac{\text{miring}}{\text{miring}} = 1\)
\(\cos 90^\circ = \dfrac{\text{samping}}{\text{miring}} = \dfrac{0}{\text{miring}} = 0\)
\(\tan 90^\circ = \dfrac{\sin 90^\circ}{\cos 90^\circ} = \dfrac{1}{0} \longrightarrow \text{tidak terdefinisi}\)

Perluasan ke Sudut Tumpul dan Sudut Refleksi

Sejauh ini kita telah mempelajari dasar-dasar trigonometri untuk sudut lancip (\(0^\circ\) hingga \(90^\circ\)). Namun, ini baru permulaan. Masih ada ukuran sudut lain yang perlu dipertimbangkan seperti sudut tumpul \(90^\circ < \theta < 180^\circ\), sudut lurus \(\theta = 180^\circ\), sudut refleksi \(180^\circ < \theta < 360^\circ\) hingga sudut penuh \(\theta = 360^\circ\).

Definisi trigonometri yang kita gunakan sebelumnya, meskipun efektif untuk segitiga siku-siku, memiliki keterbatasan mendasar: hanya berlaku untuk sudut lancip. Hal ini menyulitkan penerapannya dalam situasi dunia nyata dan matematika lanjutan yang membutuhkan rentang sudut penuh.

Untuk mengatasi keterbatasan ini, kita perlu mendefinisikan ulang fungsi trigonometri dengan dasar yang lebih universal. Alih-alih bergantung pada rasio segitiga siku-siku, kita akan menggunakan sistem koordinat Kartesius yang mampu bekerja untuk semua sudut, dari 0° hingga 360° bahkan lebih.

Sistem koordinat 2-dimensi Kartesius.

Bidang koordinat Kartesius 2-dimensi tersusun atas dua sumbu yang saling tegak lurus satu sama lain, yakni sumbu vertikal (sumbu-\( y \)) dan sumbu horizontal (sumbu-\( x \)). Tiap titik pada koordinat Kartesius dapat dinyatakan dalam bentuk \( (x, y) \), di mana \( x \) adalah absis: jarak titik ke sumbu-\( y \), dan \( y \) adalah ordinat: jarak titik ke sumbu-\( x \).

Bidang koordinat Kartesius 2-dimensi terbagi menjadi empat wilayah yang dinamakan kuadran, yakni kuadran I, II, III, dan IV. Jika titik \( (x,y) \) terletak pada kuadran I, maka cukup jelas bahwa \( x > 0 \) dan \( y > 0 \),
sedangkan untuk kuadran II: \( x < 0 \) dan \( y > 0 \),
untuk kuadran III: \( x < 0 \) dan \( y < 0 \),
dan terakhir, untuk kuadran IV: \( x > 0 \) dan \( y < 0 \).

Nah, bagaimana cara kita memperluas definisi fungsi trigonometri untuk sudut-sudut yang lebih besar? Perhatikan gambar berikut.


Sebuah garis lurus sepanjang \( r \) yang membentuk sudut \( \theta \) terhadap sumbu x positif dan berpangkal di titik \((0, 0)\). Dapat juga dipandang sebagai suatu segitiga siku-siku dengan sudut \(\theta\), sisi miring \(r\), sisi samping \(x\), dan sisi depan \(y\) dengan titik \( (x, y) \) adalah titik ujung garis.

Kita mulai dengan suatu garis dengan panjang \( r \) yang berpangkal di titik asal \((0,0)\) dan berujung di titik \((x, y)\). Garis ini membentuk sudut \( \theta \) (diukur berlawanan arah jarum jam dari sumbu-x positif) terhadap sumbu-x positif dan terletak di kuadran I. Sekilas, garis tersebut seperti membentuk sebuah segitiga siku-siku dengan panjang hipotenusa \( r \) serta panjang kaki-kakinya \( x \) dan \( y \).

Sedikit mirip dengan definisi sebelumnya, kini kita definisikan fungsi-fungsi trigonometri sebagai berikut:

\( \begin{aligned} \sin (\theta) & = \dfrac{y}{r} & \csc (\theta) & = \dfrac{r}{y} \\[1em] \cos (\theta) & = \dfrac{x}{r} & \sec (\theta) & = \dfrac{r}{x} \\[1em] \tan (\theta) & = \dfrac{y}{x} & \cot (\theta) & = \dfrac{x}{y} \end{aligned} \)

Nampak sekilas, rasanya tidak ada perbedaan dengan definisi sebelumnya. Akan tetapi, perhatikan baik-baik bahwa nilai \( r \) memang selalu positif (karena merupakan panjang garis), tetapi nilai \( x \) dan \( y \) bisa negatif (karena berada dalam koordinat Kartesius, bukan segitiga siku-siku). Akibatnya, sekarang nilai keenam fungsi trigonometri bisa negatif. Lebih lanjut lagi, dengan definisi yang baru, kita kini bisa menggunakan sudut-sudut yang lebih besar dari \( 90^\circ \).

Tanda Fungsi Trigonometri di Tiap Kuadran

Mari kita tinjau kembali garis \(r\) pada bagian sebelumnya. Perhatikan bahwa garis \( r \) bisa terletak di kuadran I, II, III, atau IV tergantung dengan besar sudut \( \theta \):

  • Jika \( 0^\circ < \theta < 90^\circ \) maka garis berada di kuadran I.
  • Jika \( 90^\circ < \theta < 180^\circ \), maka garis berada di kuadran II.
  • Jika \( 180^\circ < \theta < 270^\circ \), maka garis berada di kuadran III.
  • Jika \( 270^\circ < \theta < 360^\circ \), maka garis berada di kuadran IV.

Adapun tanda fungsi trigonometri di tiap kuadrannya adalah sebagai berikut:

Sudut-Sudut Berelasi

Dalam trigonometri, terdapat beberapa sudut-sudut yang berelasi satu sama lain. Identitas-identitas ini sangat penting untuk mempermudah perhitungan trigonometri.

Perlu digarisbawahi bahwa tidak perlu menghafal semua identitas sudut berelasi ini. Memori manusia punya batasannya, sehingga lebih baik menghafal hal-hal yang lebih esensial. Yang paling penting adalah memahami darimana identitas-identitas tersebut berasal. Bukankah lebih mudah menghafal cara berpikir yang diperlukan untuk menurunkan identitas-identitas tadi ketimbang menghafal identitasnya satu per satu? Kalau Anda hapal alurnya, Anda bisa dengan mudah menemukan kembali identitas-identitas tadi sendiri. Ini akan memberikan ruang lebih dalam memori kita yang bisa digunakan untuk menghafal hal-hal yang jauh lebih penting.

Kuadran II

Sama seperti sudut istimewa \(0^\circ\), \(30^\circ\), \(45^\circ\), \(60^\circ\), dan \(90^\circ\), terdapat pula sudut-sudut istimewa yang lebih besar dari \(90^\circ\). Sebagai contoh, sudut tumpul \(120^\circ\) di kuadran II memiliki sifat khusus. Coba perhatikan gambar berikut.

\[ \begin{aligned} \sin 60^\circ &= \dfrac{y}{r} = \sin 120^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \\[1em] \cos 60^\circ &= \dfrac{x}{r} = \dfrac{1}{2} \quad \text{sedangkan} \quad \cos 120^\circ = -\dfrac{1}{2} \\[1em] \tan 120^\circ &= \dfrac{\sin 120^\circ}{\cos 120^\circ} = \dfrac{\sin 60^\circ}{-\cos 60^\circ} = - \tan 60^\circ = -\sqrt{3} \end{aligned} \]

Cobalah menghitung nilai fungsi trigonometri untuk \(135^\circ\), \(150^\circ\), dan \(180^\circ\) dengan metode serupa. Anda akan menemukan pola:

  • • \(\sin (180^\circ - \theta) = \sin \theta\)
  • • \(\cos (180^\circ - \theta) = -\cos \theta\)
  • • \(\tan (180^\circ - \theta) = -\tan \theta\)

Barangkali kita akan coba membuktikan hubungan ini secara umum. Perhatikan ilustrasi berikut.

Untuk setiap sudut \(\theta\), \(\sin(180^\circ - \theta) = \sin \theta\).

Berdasarkan ilustrasi, \(\sin (180^\circ - \theta) = \dfrac{y}{r}\) dan \(\sin \theta = \dfrac{y}{r}\). Kedua ekspresi ini identik.

Untuk setiap sudut \(\theta\), \(\cos (180^\circ - \theta) = -\cos \theta\).

\(\cos \theta = \dfrac{x}{r}\) sedangkan \(\cos (180^\circ - \theta) = \dfrac{-x}{r} = -\cos \theta\).

Untuk setiap sudut \(\theta\), \(\tan (180^\circ - \theta) = -\tan \theta\).

Menggunakan identitas sebelumnya: \( \tan(180^\circ - \theta) = \dfrac{\sin(180^\circ - \theta)}{\cos(180^\circ - \theta)} = \dfrac{\sin \theta}{-\cos \theta} = -\tan \theta\).

Pola ini menunjukkan hubungan berpelurus antara sudut kuadran II dan I. Contohnya, \(120^\circ\) berpelurus dengan \(60^\circ\) (\(120^\circ + 60^\circ = 180^\circ\)). Sekarang, berdasarkan ilustrasi di bawah ini, silakan coba buktikan ketiga identitas di bawahnya sebagai latihan.


Untuk setiap sudut \(\theta\), \(\sin (90^\circ + \theta) = \cos \theta\).

\(\cos \theta = \dfrac{x}{r}\) sama dengan \(\sin (90^\circ + \theta)\).

Untuk setiap sudut \(\theta\), \(\cos (90^\circ + \theta) = -\sin \theta\).

\(\sin \theta = \dfrac{y}{r}\) sedangkan \(\cos (90^\circ + \theta) = -\dfrac{y}{r}\).

Untuk setiap sudut \(\theta\), \(\tan (90^\circ + \theta) = -\cot \theta\).

\( \tan(90^\circ + \theta) = \dfrac{\sin(90^\circ + \theta)}{\cos(90^\circ + \theta)} = \dfrac{\cos \theta}{-\sin \theta} = -\cot \theta\).

Kuadran III

Selanjutnya, kita bisa memperluas cakupan kita ke sudut-sudut di kuadran III (antara \(180^\circ\) sampai \(270^\circ\)). Belajar dari pengalaman sebelumnya, sudut istimewa memiliki bentuk umum \(90^\circ - \theta\), \(90^\circ + \theta\), dan \(180^\circ - \theta\), di mana \(\theta\) adalah sudut lancip yang istimewa. Kalau polanya dilanjutkan, kita akan dapatkan bentuk \(180^\circ + \theta\) dan \( 270^\circ - \theta\), yang merupakan sudut di kuadran III.

Akan tetapi, sekarang adalah waktunya Anda coba membuktikan identitas-identitasnya sendiri. Silakan cari sudut-sudut istimewa di kuadran ini dan nilai fungsi-fungsi trigonometri untuk sudut-sudut tersebut. Petunjuknya sederhana: penalaran yang perlu Anda gunakan sebenarnya mirip-mirip dengan sebelumnya. Silakan buktikan identitas-identitas di bawah ini dengan \(\theta\) adalah sudut lancip. Selamat mencoba.

\(\sin (180^\circ + \theta) = -\sin \theta\)
\(\cos (180^\circ + \theta) = -\cos \theta\)
\(\tan (180^\circ + \theta) = \tan \theta\)
\(\sin (270^\circ - \theta) = -\cos \theta\)
\(\cos (270^\circ - \theta) = -\sin \theta\)
\(\tan (270^\circ - \theta) = \cot \theta\)

Kuadran IV

Seperti sebelumnya, silakan coba buktikan identitas-identitas untuk sudut-sudut di kuadran IV (\(\theta\) adalah sudut lancip).

\(\sin (270^\circ + \theta) = -\cos \theta\)
\(\cos (270^\circ + \theta) = \sin \theta\)
\(\tan (270^\circ + \theta) = -\cot \theta\)
\(\sin (360^\circ - \theta) = -\sin \theta\)
\(\cos (360^\circ - \theta) = \cos \theta\)
\(\tan (360^\circ - \theta) = -\tan \theta\)

Sudut Negatif

Para matematikawan umumnya sepakat bahwa sudut yang diukur berlawanan arah jarum jam nilainya positif, sedangkan yang diukur searah jarum jam adalah sudut negatif. Dengan demikian, tidak hanya \(\sin 30^\circ\), kita juga punya \(\sin (-30^\circ)\). Kira-kira, bagaimana cara menghitung nilai fungsi-fungsi trigonometri untuk sudut yang negatif?

Dari gambar, \(\sin \theta = \dfrac{y}{r}\) dan \(\cos \theta = \dfrac{x}{r}\) sedangkan \(\sin (-\theta) = \dfrac{-y}{r}\) dan \(\cos (-\theta) = \dfrac{x}{r}\). Dengan demikian:

\(\sin (-\theta) = -\sin \theta\)
\(\cos (-\theta) = \cos \theta\)
\(\tan (-\theta) = -\tan \theta\)

Ketiga identitas di atas dapat pembaca buktikan secara mudah. Lebih lanjut lagi, kita bisa lihat bahwa posisi garis yang membentuk sudut \(-\theta\) akan sama seperti garis yang dibentuk sudut \(360^\circ - \theta\). Secara umum,

\[ \sin (- \theta) = \sin (360^\circ - \theta) \]

dan identitas ini tetap berlaku jika sinus diganti dengan kelima fungsi trigonometri lainnya.

Periodisitas Fungsi Trigonometri

Fungsi trigonometri memiliki sifat periodik. Artinya, nilainya akan berulang setiap kelipatan \(360^\circ\) (periode dasar). Mari kita analisis melalui contoh:

\(\sin(390^\circ)\) dapat ditulis sebagai \(\sin(30^\circ + 360^\circ)\). Perhatikan bahwa \(360^\circ\) adalah satu putaran penuh, sehingga dengan menambahkan sudut tersebut, kita akan tetap berada pada posisi semula, yakni pada sudut \(30^\circ\). Dengan demikian, \[ \sin(390^\circ) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \]
Untuk sudut \(750^\circ = 30^\circ + 2 \times 360^\circ\): \[ \sin(750^\circ) = \sin(30^\circ) \]

Hal ini menunjukkan bahwa penambahan kelipatan \(360^\circ\) tidak mempengaruhi nilai fungsi. Secara umum, untuk sembarang bilangan bulat \(n\),

\[ \begin{aligned} \sin (\theta \pm 360^\circ n) &= \sin \theta \\ \cos (\theta \pm 360^\circ n) &= \cos \theta \\ \tan (\theta \pm 180^\circ n) &= \tan \theta \end{aligned} \]

Fungsi trigonometri lain (sekan, kosekan, dan kotangen) mengikuti pola yang sama sesuai periodenya.